Условия районного тура олимпиады по математике 2007-2008уч.год.

5кл

  1. Расставить скобки так, чтобы было верное равенство .

2.       Разделить двумя прямыми фигуру (смотри рисунок) на 6 частей (не обязательно равных)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  3.  Пункт А находиться на расстоянии 60 км от пункта Б. Одновременно из этих пунктов навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростью 15км в час каждый. Вместе с первым велосипедистом  из пункта А вылетела оса со скоростью 20 км в час. Оса обогнала первого велосипедиста и полетела навстречу второму, выехавшему из Б. Встретив его, она тотчас же повернула обратно и полетела навстречу первому велосипедисту. Повстречав его, оса снова  полетела навстречу второму велосипедисту и так она продолжала летать до тех пор, пока велосипедисты не встретились. Тогда она успокоилась и села одному из них на плечо. Сколько километров пролетела оса?

4.    Когда встречаются два жителя Цветочного города, один отдает другому монету в 10 копеек, а тот ему - 2 монеты по 5 копеек. Могло ли случиться так, что за день каждый из 1990 жителей города отдал ровно 10 монет?

5.    На свои деньги Петя мог купить 8 бубликов и 7 пирожных либо 5 бубликов и 8 пирожных. Сколько  он смог бы купить одних бубликов?

             6кл

  1. Вычислить
  2. Каждый день в полдень из  Гавра в Нью-Йорк отправляется пароход, и в тот же самый   момент  пароход той же самой компании отправляется из Нью-Йорка в Гавр. Переезд  совершается ровно за 7 суток как в том , так и в другом направлении. Сколько судов своей компании, идущих в противоположном направлении, встретит пароход, отправляющийся сегодня  в полдень из Гавра?
  3. Четыре числа в сумме дают 396. Если к первому числу прибавить 5, а от второго  отнять 5, третье число умножить на 5, а четвертое разделить на 5, то полученные числа будут равны между собой. Найти эти числа.

4.        У Джона есть деревянный параллелепипед с размерами 6,12 и 18см. Он распиливает его на кубики  с ребром 1 см и ставит их один на другой. Построит ли  Джон из всех кубиков вышку, если у него есть трехметровая лестница.

  1. Имеется 75 шариков одного и того же радиуса, один из них легче остальных. Найти его не более чем 4 взвешиваниями на весах без гирь.

 

 

            7кл

1.        Сосчитайте 1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14-...+2002-2003-2004+2005+2006-2007-2008+2009

2.        Бригада  лесорубов решила вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда бригадир успокоил экологов, сказав им:”В нашем лесу сосны составляют 99% от всего леса. После рубки леса сосны будут составлять 98% всех деревьев”. Какую часть леса вырубит бригада?

3.        Прямоугольник разделен двумя отрезками на 4 прямоугольника (см.рисунок), площади трех из которых 2,4 и 6см2. Найти площадь всего прямоугольника.

4.        Один сапфир и два топаза ценней, чем изумруд, в три раза. А семь сапфиров и топаз его ценнее в восемь раз. Определить мы просим вас, сапфир ценнее иль топаз?

5.        Для проведения водопровода в дом нужно 167 м труб. На складе в наличии имеются трубы лишь длиной 5 м и 7м. Сколько надо взять тех или других труб, чтоб сделать наименьшее число соединений?

            8кл

  1. Какой цифрой заканчивается 1+2!+3!+4!+…+20!(запись 4!означает произведение всех натуральных чисел до 4, то есть )

2.        В кубе с ребром 13см, выбрано 2008 точек. Можно ли в этот куб поместить кубики с ребром 1см так, чтобы внутри него не было ни одной выбранной точки?(ответ обосновать)

  1. Кощей Бессмертный зарыл клад на глубину 1м. Этого ему показалось недостаточно, он откопал клад, углубил колодец до 2 м и снова зарыл. Этого ему  снова показалось мало, он отрыл  клад, углубил яму  до 3 м и зарыл. Затем он проделал то же, углубив колодец  до 4 м, потом до 5 м, до 6 м и т.д. Известно, что колодец глубиной n метров Кощей выкапывает за n2 дней. Известно также, что на 1001-й день Кощей умер от непосильной работы. На какой глубине остался клад? (Временем, необходимым для закапывания колодца, пренебречь. )
  2. Больше, чем 3,6%, но меньше, чем 3,8% домов на некоторой улице покрашено в красный цвет. Какое наименьшее число домов может быть на этой улице?
  3. Высоты пересекаются в точке О. Известно, что OC=AB. Найдите угол при вершине С.

 

 

С

 
9кл

  1. Найдите последнюю цифру степени
  2. Е

     
    Докажите неравенство , где a и b –действительные числа.
  3. Квадрат ABCD со стороной 2см и квадрат  DEFK со стороной 1 см стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM  со стороной 3см. (см. рисунок) Между парами точек A и E,B и F,C и K,D и L натянуты паутинки (проведите линии). Паук поднимается снизу вверх по маршруту AEFB и спускается вниз по маршруту CKDL. Какой маршрут короче?
  4. Решите уравнение в натуральных числах  
  5. Цены снижены на 20%. На сколько процентов больше можно купить товаров на ту же зарплату?

     

 

            10кл

  1. В равнобедренном   с основанием АС проведена биссектриса CD, . Из точки D проведены , причем  Биссектриса угла B пересекает DE в точке М. Найдите DM, если FC=8см.
  2. При каких значениях а разность корней уравнения  равна 3.
  3. Получая с 9000 рублей и 6000 рублей различный процент дохода, имеют 384 рубля годового  дохода. Если бы первая сумма денег давала бы тот процент дохода, который в действительности приносила вторая сумма, а вторая давала бы тот процент, который в действительности приносила первая сумма денег, то сумма годового дохода составила бы 426 рублей. Найдите процент дохода, который дает каждая сумма денег.
  4. Натуральное число х возвели в третью степень. Докажите, что хотя бы одно из чисел х3+х или х3-х делится на 10.
  5. Могут ли параболы, изображенные на рисунке, быть графиками функций  и  ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            11кл

  1. Найдите сумму корней многочлена A (x)=8p2(x)+7p (x)g (x)- g2(x), если 
      и  .
  2. Постройте график функции
  3. От 2 кусков сплавов с разным содержанием свинца массой 6 кг и 12 кг отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили  с остатком  другого сплава, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы отрезанных кусков?
  4. Даны три утверждения:

·         Уравнение ах2-ах+1=0 не имеет действительных корней.

·         Справедливо равенство  .

·         Система уравнений  имеет единственное решение.

           Найдите все значения а, при которых два из этих утверждений истинны, а одно ложно.

 

  1. Три квадрата расположены так, как на рисунке. Найдите величину угла между прямыми AC и ВД.

                                                       В                                   С

 

 


                                                    А                      

                                                                             Д

 

Желаем успеха!